Plataformas móviles

Entendiendo la bases detrás de las plataformas

¿Cómo mover una plataforma móvil?

¿Qué necesitamos para llevar un robot de un punto $A$ a un punto $B$?

¿Cómo mover una plataforma móvil?

Divide y Conquista

• El mundo es dinámico y desconocido
• El controlador debe responder a todas las condiciones ambientales
• En vez de construir un complejo controlador, usemos la idea de divide y conquista.

División de los comportamientos

• Ir a la meta
• Evitar obstaculos
• Seguir el muro
• Sigue un objetivo
• ...

Comportamiento

display(IFrame("https://www.youtube.com/embed/Ro7T3q14uDY",width="100%",height="400px"))

Plataformas diferenciales

• Para controlar un sistema necesitamos su modelo.
• Las plataformas móviles diferenciales son muy comunes.

Modelo 1.0

$$\cases{ \dot{x} = \frac{R}{2}(v_r+v_l) \cos(\phi)\cr \dot{y} = \frac{R}{2}(v_r+v_l) \sin(\phi)\cr \dot{\phi} = \frac{R}{L}(v_r-v_l) } $$

Modelo uniciclo

Como no es natural pensar en velocidades de las ruedas entonces vamos a ir directamente a la velocidad traslacional y rotacional.

• Entradas

$$v\qquad w$$

• Dinámica

$$\cases{ \dot{x} = v \cos(\phi)\cr \dot{y} = v \sin(\phi)\cr \dot{\phi} = w } $$

Modelo 2.0

• Se diseña para este modelo:

$$\cases{ \dot{x} = v \cos(\phi)\cr \dot{y} = v \sin(\phi)\cr \dot{\phi} = w } $$

• Se implementa este modelo:

$$\cases{ \dot{x} = \frac{R}{2}(v_r+v_l) \cos(\phi)\cr \dot{y} = \frac{R}{2}(v_r+v_l) \sin(\phi)\cr \dot{\phi} = \frac{R}{L}(v_r-v_l) } $$

• en donde:

$$v_r = \frac{2v + w\,L}{2R}\qquad v_l = \frac{2v - w\,L}{2R}$$

Odometria

• ¿Cuál es el estado del robot?
• ¿Cómo obtenemos la información del estado?

• Dos posibilidades
  • Sensores externos
  • Sensores internos:
    • Orientación: compas,...
    • Posición: acelerometro, giroscopo,
    • Encoder de las ruedas

Encoder de las ruedas

• Los encoder dan la distancia (angular) recorrida por cada rueda
• Asumamos que las rueda describen un arco, en una pequeña escala de tiempo

$$\cases{ x' = x + D_c \cos(\phi)\cr y' = y + D_c \sin(\phi)\cr \phi' = \phi + \frac{D_r-D_l}{L} } \qquad D_c = \frac{D_r+D_l}{2} $$

Encoder de las ruedas

• ¿Cómo sabemos cuanto se ha movido cada rueda?

• Asumimos que cada rueda tiene $N$ pulsos por revolución
• La mayoría de encoders dan un conteo de pulso desde el inicio.
• Para cada rueda:
  • Calculamos la diferencia entre pulsos $$ \Delta Pulso = Pulso' - Pulso $$
  • Y luego calculamos la distancia recorrida $$ D = 2\pi \, R \frac{\Delta Pulso}{N}$$

Usar Encoders genera un gran problema

Sensores

Los robots necesitan saber a cerca de su mundo alrededor.

Los sesores más utilizados con una "falda" sobre el robot:

• IR
• Ultrasonido
• Lidar

Otros sensores externos incluyen

• Vision
• Tacto
• "GPS"

Abstracción de disco

En vez de preocuparnos por la resolución de los sensores, asumiremos que conocemos la distancia y dirección de todos los obtaculos al rededor de nosotros (que estén lo suficientemente cerca).

Si conocemos nuestra propia pose (posición y orientación), entonces

$$\cases{ x_1 = x + d_1 \cos(\phi_1+\phi) \\ y_1 = y + d_1 \sin(\phi_1+\phi) }$$

! Ejemplo : Rendezvous

Behavior-Based Robotics

Robótica basada en comportamientos

El mundo cambia constantemente y es desconocido, por lo que no tiene sentido sobre-planear. La idea clave: Desarrollar un a biblioteca de controladores utiles (comportamientos). Cambiar entre los controladores en respuesta a los cambios ambientales.

Construyendo un comportamiento (controlador)

Asumamos que tenemos un robot diferencial que se mueve a una velocidad translacional constante.

$$\cases{ \dot{x} = v_0 \cos(\phi)\cr \dot{y} = v_0 \sin(\phi)\cr \dot{\phi} = w } $$

y queremos orientar el robot a una dirección deseada, ¿cuál debe ser el valor de $w = ?$ ?

Tenemos una referencia, un modelo, una señal de control y un seguimiento del error:

$$r=\phi_d \qquad e = \phi_d - \phi \qquad \dot{\phi}=w$$

Por que no usar un PID?

$$ w = K_P \, e + K_I \int ed\tau + K_D \dot{e}$$

Lidiando con el angulo

Normalmente esto no funciona ya que estamos lidiando con angulos y entonces:

$$\phi_d =0 \quad \phi = 100\pi \qquad \to \qquad e = -100\pi$$

La solución es asegurarnos que $e \in [-\pi,\pi]$

Podemos usar el truco con atan2:

$$e' = \text{atan2}(\sin(e),\cos(e)) \in [-\pi,\pi]$$

Ejemplo de Navegación

El problema de la navegación es ir al objetivo sin chocar con obstaculos.

Como mínimo necesitamos dos comportamientos:

1. Ir al objetivo/meta
2. Evitar obstaculos

Comportamiento: Ir a la meta

¿Cómo llevar el robot al objetivo?

$$\cases{ \dot{x} = v_0 \cos(\phi)\cr \dot{y} = v_0 \sin(\phi)\cr \dot{\phi} = w } \qquad e = \phi_d - \phi \qquad w = PID(e) $$

$$\phi_d = \arctan\left(\frac{y_m-y}{x_m-x}\right)$$

• Simulador para implementar el controlador
• Función para graficar el resultado

Primer intento

$$w = K (\phi_d - \phi)$$

¡Error en el cálculo de los angulos!

Segundo intento

$$"w = K (\phi_d - \phi)"$$

¡Una ganancia del controlador muy bajita!

Tercer intento

$$"w = K_{BIG} (\phi_d - \phi)"$$

Comportamiento: Evadir obstaculos

¿Cómo evadir ir directamente a los obstaculos.

Podemos usar la mismaidea para definir ir a la meta?

Hacia donde ir

$$\phi_1= \phi_{obst}+ \pi \qquad \phi_2 = \phi_{obst}\pm \pi/2 \qquad \phi_3 = \phi_{meta}$$

La dirección depende de la dirección al objetivo, no puede ser puro sino combinado.

$$\phi_4 = F(\phi_{obst},\phi_{meta})$$

Mecanismo de decisión

Este ejemplo ilustra 2 mecanismos de decisión diferentes:

• El ganador toma todo o cambios fuertes.
• Combinar comportamientos.

Las dos situaciones tienen merito en diferentes situaciones:

• Desempeño
• Análisis

Veremos con diseñar comportamientos sistematicos y mecanismos de decisión