Control Difuso

Es un sistema de control que esta basado en la lógica difusa.

Lofti A. Zadeh desarrollo la lógica difusa.

¿Qué tan mojada esta la ropa?

Lógica Booleana

• Mojada (Verdadero)
• Seca (Falso)

Lógica Difusa

• Parcialmente Mojada (0.7)
• Parcialmente Seca (0.3)

Beneficios del control difuso

• No requiere conocer el modelo dinámico del sistema a controlar. Por tanto,
  • No requiere identificar el sistema
  • No necesita aproximar el modelo
  • No necesita linealizarlo.
• Pero,
  • No se conoce bien el sistema

Aplicaciones del control difuso

Estructura de un controlador difuso

Tomada de A survey on industrial applications of fuzzy control

Etapas dentro de un controlador difuso

• Valores de Entrada (crisp inputs)
• Módulo de Fusificación
• Entradas difusas
• Módulo de Inferencia
• Conclusiones difusas
• Módulo de Defusificación
• Valores de Salida (crisp outputs)

Variables lingüísticas / Funciones de membresia

Reglas de Control

Dado un sistema con dos entradas $X$ y $Y$ y una salida $Z$, podemos definir las reglas de control en el modulo de inferencia así:

• Si $X$ es $A_1$ y $Y$ es $B_1$, entonces $Z$ es $C_1$
• Si $X$ es $A_2$ y $Y$ es $B_2$, entonces $Z$ es $C_2$
• Si $X$ es $A_3$ y $Y$ es $B_3$, entonces $Z$ es $C_3$

Modulo de Defusificación

Para la defusificación se pueden usar diferentes métodos:

• Centroide: considera a la función como una función de distribución de masa y busca su centroide.
• Bisectriz: divide el area bajo la función en dos regiones iguales.
• Máximo central (MOM mean of maximum): toma el promedio de los máximos.
• Máximo más grande (LOM largest of maximum): toma el máximo más grande.
• Máximo más pequeño (SOM smallest of maximum): toma el máximo más pequeño.

Modulo de inferencia

Existen diferentes métodos de inferencia, entre ellos:

• Mamdani

Ejemplo : Impresora

Realicemos el control de posición de la impresora via el voltaje del motor con un controlador difuso.

• Variable de entrada : Error de posición
• Variable de salida : Voltaje del motor

Sistema de control

Reglas de control

• Si el error es NG, entonces el voltaje es NG (negativo grande)
• Si el error es NP, entonces el voltaje es NP (negativo pequeño)
• Si el error es C, entonces el voltaje es C (cero)
• Si el error es PP, entonces el voltaje es PP (positivo pequeño)
• Si el error es PG, entonces el voltaje es PG (positivo grande)

En MATLAB

Usaremos la aplicación fuzzy logic designer, debemos tener instalado el Fuzzy Logic Toolbox

Fuzzy logic designer

Esta es la ventana inicial, donde definiremos la variable de entrada como el error y la variable de salida como el voltaje.

Funciones de membresia

Cambiar los valores de error en posición

• ENG = (Range -20, 20, Type: Trapmf, Params: -20 -20 -10 – 5)
• ENP = (Range -20, 20, Type: Trimf, Params: -10 -5 -0 )
• EC = (Range -20, 20, Type: Trimf, Params: -5 -0 5 )
• EPP = (Range -20, 20, Type: Trimf, Params: 0 5 10 )
• EPG = (Range -20, 20, Type: Trápmf, Params: 5 10 20 20 )

Funciones de membresia

Cambiar los valores de voltaje

• VNG = (Range -12, 12, Type: Trapmf, Params: -12 -12 -6 – 3)
• VNP = (Range -12, 12, Type: Trimf, Params: -6 -3 -0 )
• VC = (Range -12, 12, Type: Trimf, Params: -3 -0 3 )
• VPP = (Range -12, 12, Type: Trimf, Params: 0 3 6 )
• VPG = (Range -12, 12, Type: Trapmf, Params: 3 6 12 12 )

Añadir reglas de control

• Vamos a edit y buscamos el término Rules.
• Emparejamos las entradas y salidas correspondientes con el bóton "Add rule"
• Cuando hayamos terminado cerramos la ventana.
• Seleccionamos el metodo de fusificación.
• Exportamos las reglas.

Visualización de las reglas

Visualización de la superficie de control

Archivos para Matlab

• Controlador difuso
• Simulink

Aunque la lógica difusa se había estado estudiando desde aproximadamente Los años 1920,Lofti Zadeh fue quien oficialmente introdujo el tema en 1965. El observó que los computadores no les iba bien manejando datos subjetivos Tales que si podían ser manejados por humanos.

Lógica difusa

¿Que tan mojada esta la ropa?

• Lógica clásica: Verdadero (mojado), Falso (seco)

$$M \in \{0,1\}$$

• Lógica difusa: Parcialmente verdarero, parcialmente falso.

  $$M \in [0,1]$$

  Muy seca, poco seca, poco mojada, muy mojada

Ejemplo calor

¿Está el té caliente?

• En sistemas booleanos, tenemos valores absolutos:

$$\array{\text{Si}&\text{No}}$$

• En sistemas difusos, tenemos valores que son parcialmente verdaderos y parcialmente falsos

$$\array{\text{Muy Caliente}&\text{Caliente}&\text{Frío}&\text{Muy Frío}}$$

Ventajas del control difuso

No requiere conocer el modelo dinámico del sistema a controlar. Por tanto,

• El control difuso no requiere identificar el sistema
• Ni necesita aproximar el modelo
• Ni necesita linealizarlo Facilita el diseño del controlador

Pero necesita conocer las reglas lingüísticas de control de un experto. Cuando no se conoce el modelo se usa:

• Control PID (una entrada y una salida)
• Control Difuso (múltiples entradas y salidas)

Función de membresia

La función de membresia fue introducida por Lofti A. Zaden en 1965 en el artículo "fuzzy sets". Las funciones de membresia caracterizan la caracteristica difusa.

A cada valor difuso se le asigna un valor numérico entre 0 y 1.

Conjuntos

En conjuntos clásicos los elementos pueden ser o no-ser parte de un conjunto.

Sea $A$ un conjunto, y $\chi$ la función de membresia a dicho conjunto:

$$\chi_A(x) = \left\{\array{0&x\in A\\1&x\notin A}\right\}$$

Para un ejemplo de alturas $A= \{165,166,167,\ldots\}$

Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto $S$ es denotado por $|S|$, y es el numero de elementos del conjunto. Este número también se conoce como el número cardinal.

Conjunto difuso

Los conjuntos difusos pueden ser considerados una extensión de los conjuntos clásicos.

En lógica difusa un elemento puede ser parcialmente miembro de un conjunto.

La función de membresia para un conjunto difuso se representa por $\mu_A(x)$

Operaciones de conjuntos clásicos

$$A=\{1,2,3,4,5\} \quad B=\{4,5,6,7,8\}$$

• Union $A \cup B = \{x | x \in A \;\text{o}\; x \in B \}$

$$A\cup B = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$

• Intersección $A \cap B = \{x | x \in A \;\text{y}\; x \in B \}$

$$A\cap B = \{4,5\}$$

• Complemento $A'= \{x|x\notin A, x\in X\}$

• Diferencia $A|B = \{x|x\in A \;\text{y}\; x\notin B\}$

Operaciones de conjuntos difusos

• Union (máximo)

$$\mu_{\tilde{A}\cup\tilde{B}} = \mu_{\tilde{A}}\cup\mu_{\tilde{B}} \quad y \in u$$

union = ctrl.Antecedent(np.arange(0, 10.05, 0.05), 'Universe')
MFA = fuzz.trapmf(union.universe, [0, 4, 6, 10])
MFB = fuzz.trimf(union.universe, [6, 8, 10])
union['A'] = MFA
union['B'] = MFB
_,union['A∪B'] = fuzz.fuzzymath.fuzzy_or(union.universe,MFA,union.universe,MFB)
union.view()

C:\Python39\lib\site-packages\skfuzzy\control\fuzzyvariable.py:122: UserWarning: Matplotlib is currently using module://matplotlib_inline.backend_inline, which is a non-GUI backend, so cannot show the figure.
  fig.show()

Operaciones de conjuntos difusos

• Intersección (mínimo)

$$\mu_{\tilde{A}\cap\tilde{B}} = \mu_{\tilde{A}}\cap\mu_{\tilde{B}} \quad y \in u$$

interseccion = ctrl.Antecedent(np.arange(0, 10.05, 0.05), 'Universe')
interseccion['A'] = MFA
interseccion['B'] = MFB
_,interseccion['A∩B'] = fuzz.fuzzymath.fuzzy_and(interseccion.universe,MFA,interseccion.universe,MFB)
interseccion.view()

C:\Python39\lib\site-packages\skfuzzy\control\fuzzyvariable.py:122: UserWarning: Matplotlib is currently using module://matplotlib_inline.backend_inline, which is a non-GUI backend, so cannot show the figure.
  fig.show()

Operaciones de conjuntos difusos

• Complemento

$$\bar{\mu_{\tilde{A}}} = 1-\mu_{\tilde{A}} \quad y \in u$$

complemento = ctrl.Antecedent(np.arange(0, 10.05, 0.05), 'Universe')
complemento['A'] = MFA
complemento["A'"] = fuzz.fuzzymath.fuzzy_not(MFA)
complemento.view()

C:\Python39\lib\site-packages\skfuzzy\control\fuzzyvariable.py:122: UserWarning: Matplotlib is currently using module://matplotlib_inline.backend_inline, which is a non-GUI backend, so cannot show the figure.
  fig.show()

Operaciones de conjuntos difusos

• Diferencia

$$\mu_{\tilde{A}|\tilde{B}} = \mu_{\tilde{A}}\cap\bar{\mu_{\tilde{B}}} \quad y \in u$$

diferencia = ctrl.Antecedent(np.arange(0, 10.05, 0.05), 'Universe')
diferencia['A'] = MFA
diferencia['B'] = MFB
_,diferencia['A | B'] = fuzz.fuzzymath.fuzzy_and(diferencia.universe,MFA,diferencia.universe,fuzz.fuzzymath.fuzzy_not(MFB))
diferencia.view()

C:\Python39\lib\site-packages\skfuzzy\control\fuzzyvariable.py:122: UserWarning: Matplotlib is currently using module://matplotlib_inline.backend_inline, which is a non-GUI backend, so cannot show the figure.
  fig.show()

Propiedades de los conjuntos

• Commutatividad

$$A\cup B = B\cup A \qquad A\cap B = B\cap A$$

• Asociatividad

$$A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C \qquad A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C$$

• Distributividad

$$A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A \cup C) \qquad A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A \cap C)$$

• Idempotencia

$$A\cup A = A \qquad A\cap A = A$$

• Identidad

$$A\cup 0 = A \qquad A\cap 0 = 0 \qquad A\cap X =A \qquad A\cup X = X$$

• Transitividad

$$\text{si } A \subseteq B \;\text{y}\; B\subseteq C \;\text{, entonces}\; A \subseteq C$$

• Involución
• Teorema de Morgan

Composición de relaciones difusas

$$T = R \textbf{ o } S $$

Donde $R$ es la relación de universos $X$ y $Y$ y $S$ es la relación de universos $Y$ y $Z$, luego $T$ es la relación de universos $X$ y $Z$.

Dos tipo de composiciones existen:

• Composición MAX-MIN :

$$\mu_{R \textbf{ o } S}= \max_{y\in Y}\left[\min\left(\mu_R(x,y),\mu_S(y,z)\right)\right]$$

• Composición MAX-Producto :

$$\mu_{R \textbf{ o } S}= \max_{y\in Y}\left[\mu_R(x,y)\cdot\mu_S(y,z)\right]$$

print("Ejemplo de Composición\n")

R = np.matrix([[0.5,0.1],[0.2,0.9],[0.8,0.6]])
S = np.matrix([[0.6,0.4,0.7],[0.5,0.8,0.9]])
print("R =\n",R)
print("S =\n",S)
T = MaxMinCompo(R,S)
print("T = {max-min}\n",T)
T = MaxProdCompo(R,S)
print("T = {max-prod}\n",T)

Ejemplo de Composición

R =
 [[0.5 0.1]
 [0.2 0.9]
 [0.8 0.6]]
S =
 [[0.6 0.4 0.7]
 [0.5 0.8 0.9]]
T = {max-min}
 [[0.5 0.4 0.5]
 [0.5 0.8 0.9]
 [0.6 0.6 0.7]]
T = {max-prod}
 [[0.3  0.2  0.35]
 [0.45 0.72 0.81]
 [0.48 0.48 0.56]]

print("Ejemplo de Composición\n")

R = np.matrix([[0.3,0.9,0.2],[0.6,0.5,0]])
S = np.matrix([[1,0.6],[0.4,0.1],[0.7,0]])
print("R =\n",R)
print("S =\n",S)
T = MaxMinCompo(R,S)
print("T = {max-min}\n",T)
T = MaxProdCompo(R,S)
print("T = {max-prod}\n",T)

Ejemplo de Composición

R =
 [[0.3 0.9 0.2]
 [0.6 0.5 0. ]]
S =
 [[1.  0.6]
 [0.4 0.1]
 [0.7 0. ]]
T = {max-min}
 [[0.4 0.3]
 [0.6 0.6]]
T = {max-prod}
 [[0.36 0.18]
 [0.6  0.36]]

Propiedades de las relaciones

• Reflexividad: Cuando una relación es reflexiva, cada nodo en el grafo genera una conexión con sigo mismo.

$$R = \left\{(x,x)\right\} \qquad\text{ , } x\in R$$

• Simetria: Una relación es simétrica cuando en le grafo, para cada conexión del nodo $i$ hacia el nodo $j$, hay una conexión apuntando en la direción opuesta, es decir, del nodo $j$ al nodo $i$.

$$(x,y)\in R \qquad\to\qquad (y,x)\in R$$

• Transitividad: Una relación es transitiva cuando para cada par de conexiones en el grafo, una apuntando del nodo $i$ al nodo $j$ y otra del nodo $j$ al nodo $k$, existe tambien una conexión del nodo $i$ al nodo $k$.